【题目】如图,四棱锥S=ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=a(0<≦1). w.w.w..c.o.m
(Ⅰ)求证:对任意的(0、1),都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C,求的值。
【答案】(Ⅰ) 略(Ⅱ)
【解析】
运用三垂线定理证明线线垂直,第二问是告诉二面角求参数的值,这是二面角的逆向问题,仍然要作出二面角,求二面角才能解出参数。这题除了用传统的证法与求角的方法外,也可以应用空间向量来解决。
解:(Ⅰ)证发1:连接BD,由底面是正方形可得ACBD。
SD平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,
由三垂线定理得ACBE.
(II)解法1:SD平面ABCD,CD平面ABCD,SDCD.
又底面ABCD是正方形,CDAD,又SDAD=D,CD平面SAD。
过点D在平面SAD内做DFAE于F,连接CF,则CFAE,
故CFD是二面角C-AE-D 的平面角,即CFD=60°
在Rt△ADE中,AD=, DE=, AE=。
于是,DF=
在Rt△CDF中,由cot60°=
得, 即=3解得。
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【题目】要建造一段长的高速公路,工程队需要把380名施工人员分为两组,一组负责的软土地带的施工,另一组完成剩下的硬土地带的施工.根据工程技术人员的测算,软、硬地带每米公路的工程量分别为50人·天和30人·天.
(1)设参与软土地带工作的人数为人,试分别写出在软、硬地带筑路的时间关于的函数表达式;
(2)问如何安排两组的人数,才能使全队筑路工期最短?
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【题目】如图所示的等腰梯形ABCD中,,,E为CD中点.若沿AE将三角形DAE折起,并连接DB,DC,得到如图所示的几何体D-ABCE,在图中解答以下问题:
(1)设G为AD中点,求证:平面GBE;
(2)若平面平面ABCE,且F为AB中点,求证:.
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
P() | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
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【题目】已知椭圆中心在原点,焦点在轴上,离心率,点分别为椭圆的左右焦点,过右焦点且垂直于长轴的弦长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆左焦点作直线,交椭圆于两点,若,求直线的倾斜角.
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【题目】如图所示,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:BE⊥平面PAC.
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【题目】在四面体ABCD中,与都是边长为8的正三角形,点O是线段BC的中点.
(1)证明:.
(2)若为锐角,且四面体ABCD的体积为求侧面ACD的面积.
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【题目】在含有个元素的集合中,若这个元素的一个排列(,,…,)满足,则称这个排列为集合的一个错位排列(例如:对于集合,排列是的一个错位排列;排列不是的一个错位排列).记集合的所有错位排列的个数为.
(1)直接写出,,,的值;
(2)当时,试用,表示,并说明理由;
(3)试用数学归纳法证明:为奇数.
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