Question

已知f（x）是奇函数，且x≥0时，f（x）=x²-4x+3．
求：（1）f（x）的解析式．    
（2）已知t＞0，求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）当x＜0时，-x＞0，而f（x）=-f（-x）可求f（x）
（2）由题意可得函数f（x）[t，t+1]上f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1开口向上且关于x=2对称
①当t+1≤2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递减，g（t）=f（t+1）
②当t＜2＜t+1时即1＜t＜2时，对称轴在 区间内，g（t）=f（2）
③当t≥2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递增，g（t）=f（t）
解答：解：（1）∵f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）对任意的x都成立（1分）
又x≥0时，f（x）=x²-4x+3．
∴x＜0时，-x＞0
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3…（5分）
∴f（x）=（6分）
（2）∵t＞0
∴当x∈[t，t+1]时，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1开口向上且关于x=2对称…（7分）
①当t+1≤2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递减
∴g（t）=f（t+1）=（t-1）²-1=t²-2t（9分）
②当t＜2＜t+1时即1＜t＜2时，对称轴在 区间内
∴g（t）=f（2）=-1（11分）
③当t≥2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递增
∴g（t）=f（t）=t²-4t+3（13分）
综上所述，
点评：本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意解题中的分类讨论思想的应用．