Question

17．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD的中点．
（1）求证：EF∥B₁D₁；
（2）求二面角C₁-EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF∥B₁D₁．
（2）求出平面C₁EF的一个法向量和平面ABCD的一个法向量，利用向量法求出二面角C₁-EF-A的大小．

解答 证明：（1）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系．（1分）
则 ${D_1}（0，0，1），{B_1}（1，1，1），E（\frac{1}{2}，1，0），F（0，\frac{1}{2}，0），{C_1}（0，1，1）$，
$\overrightarrow{EF}=（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{{B_1}{D_1}}=（-1，-1，0）$（4分
∴$\overrightarrow{{B_1}{D_1}}=2\overrightarrow{EF}$．（5分）
∴EF∥B₁D₁．（6分）
解：（2）设$\overrightarrow{n_1}=（u，v，w）$是平面C₁EF的一个法向量．
$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（0，$\frac{1}{2}，1$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{F{C}_{1}}=\frac{1}{2}v+w=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}v=0}\end{array}\right.$，取w=1，得$\overrightarrow{n_1}=（2，-2，1）$（9分）
因为DD₁⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量是$\overrightarrow{n_2}=（0，0，1）$（10分）
设$\overrightarrow{n_1}$与$\overrightarrow{n_2}$的夹角为α，则$cosα=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{1}{3}$…（11分）
结合图形，判别得二面角C₁-EF-A是钝角，
∴二面角C₁-EF-A的大小为$π-arccos\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题考查线线平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．