Question

在北京奥运会期间，4位志愿者计划在长城、故宫、天坛和天安门等4个景点服务，已知每位志愿者在每个景点服务的概率都是

1

4

，且他们之间不存在相互影响．
（1）求恰有3位志愿者在长城服务的概率；
（2）设在故宫服务的志愿者人数为X，求X的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）根据每位志愿者在每个景点服务的概率都是

1

4

，且他们之间不存在相互影响．得到本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的概率公式得到恰有3位志愿者在长城服务的概率．
（2）由题意知在故宫服务的志愿者人数为X，X的可能取值是0，1，2，3，4，利用独立重复试验的概率公式，写出随机变量的分布列，做出期望．

解答：解：（1）由题意知本题是一个独立重复试验，
试验发生的概率是

1

4

∴恰有3位志愿者在长城服务的概率是P=

C

3 4

(

1

4

)3•

3

4

=

3

64

（2）由题意知在故宫服务的志愿者人数为X，X的可能取值是0，1，2，3，4
则有P（X=0）=

C

0 4

(

3

4

)4=

81

256

P（X=1）=

C

1 4

(

1

4

)1(

3

4

)3=

27

64

P（X=2）=

C

2 4

(

1

4

)2(

3

4

)2=

27

128

P（X=3）=

C

3 4

(

1

4

)3(

3

4

)1=

3

64

P（X=4）=

C

4 4

(

1

4

)4=

1

256

∴X的概率分布列为

∴变量X的数学期望为EX=0×

81

256

+1×

27

64

+2×

27

128

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率，是一个可以作为高考题目出现的问题，注意解题格式．