Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）判断直线l与圆C的交点个数；
（Ⅱ）若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为 （t为参数）．
∴消去参数t得直线l的普通方程为 ，
∵圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，
∴由ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y，得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．
∵圆心（0，1）在直线l上，
∴直线l与圆C的交点个数为2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心（0，1）在直线l上，
∴AB为圆C的直径，
∵圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．
∴圆C的半径r= =1，∴圆C的直径为2，∴|AB|=2
【解析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，由ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程，由此得到圆心（0，1）在直线l上，从而能求出直线l与圆C的交点个数．（Ⅱ）由AB为圆C的直径，能求出|AB|的值．