Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）当E为BC中点时，求异面直线PC与DE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求证：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：于（Ⅰ）由于F是PB的中点，E为BC的中点，从而EF为三角形PBC的中位线，故EF∥PC，由线面平行的判定定理可以得到EF∥平面PAC；
对于（Ⅱ）由于本题出现了三个两两垂直的直线AD、AP、AB，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），C(

3

，1，0)，D(

3

，0，0)，E(

3

2

，1，0)．可以求得向量PC、DE的坐标，用向量的夹角公式计算即可；
对于（Ⅲ）在解决（Ⅱ）的基础上，继续计算向量PE、AF的坐标，求其内积判断即可．

解答：解：（Ⅰ）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC．
又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C(

3

，1，0)，D(

3

，0，0)，E(

3

2

，1，0)．
则

PC

=(

3

，1，-1)，

DE

=(-

3

2

，1，0)cos＜

PC

，

DE

＞=

PC • DE

| PC || DE |

=

- 3 2 +1+0

5 × 7 2

=-

35

35

所以，当E为BC中点时，异面直线PC与DE所成角的余弦值为

35

35

．（9分）
（Ⅲ）证明：依据（Ⅱ）所建立坐标系，
则P（0，0，1），B（0，1，0），F(0，

1

2

，

1

2

)，D(

3

，0，0)．
设BE=x，则E（x，1，0），

PE

•

AF

=(x，1，-1)•(0，

1

2

，

1

2

)=0，
∴

PE

⊥

AF

．∴PE⊥AF．
所以，无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，异面直线垂直判定、异面直线所成角的求法，在适合建立空间坐标系的情况下，转化为用空间坐标系中的向量法解决，较为简捷．