Question

6．设定义在区间（-a，a）上的函数$f（x）={log_{2015}}\frac{1+mx}{1-2015x}$是奇函数（a，m∈R，m≠-2015），则m^a的取值范围是（　　）

• A． $（1，{2015^{\frac{1}{2015}}}]$
• B． $（0，{2015^{\frac{1}{2015}}}]$
• C． $（1，{2015^{\frac{1}{2015}}}）$
• D． $（0，{2015^{\frac{1}{2015}}}）$

Answer 1

分析 定义在区间（-a，a）上的函数$f（x）={log_{2015}}\frac{1+mx}{1-2015x}$是奇函数，利用f（-x）+f（x）=0，化为$\frac{（1-mx）（1+mx）}{（1+2015x）（1-2015x）}$=1，m≠-2015，解得m=2015．令$\frac{1+2015x}{1-2015x}$＞0，解得x，kd $0＜a≤\frac{1}{2015}$．即可得出．

解答 解：∵定义在区间（-a，a）上的函数$f（x）={log_{2015}}\frac{1+mx}{1-2015x}$是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，化为$lo{g}_{2015}\frac{1-mx}{1+2015x}$+$lo{g}_{2015}\frac{1+mx}{1-2015x}$=0，
∴$\frac{（1-mx）（1+mx）}{（1+2015x）（1-2015x）}$=1，
∵m≠-2015，
∴m=2015．
∴f（x）=$lo{g}_{2015}\frac{1+2015x}{1-2015x}$，
令$\frac{1+2015x}{1-2015x}$＞0，
解得$-\frac{1}{2015}＜x＜\frac{1}{2015}$，
∴$0＜a≤\frac{1}{2015}$．
∴m^a=2015^a取值范围是$（1，201{5}^{\frac{1}{2015}}）$．
故选：A．

点评 本题考查了函数奇偶性求值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．