Question

已知△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，A=

π

6

，b=2acosB
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=2．求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据b=2acosB利用正弦定理，算出sinB=2sinAcosB=cosB，利用同角三角函数的关系算出tanB=1，可得角B的大小；
（II）由三角形内角和定理算出C=π-（A+B）=

7π

12

，再根据已知等式算出b=2acosB=2

2

，利用三角形面积公式S=

1

2

absinC，即可算出△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵b=2acosB，
∴根据正弦定理，得sinB=2sinAcosB，
又∵A=

π

6

，
∴sinB=2sin

π

6

cosB，
即sinB=cosB，可得tanB=

sinB

cosB

=1．
∵B∈（0，π），∴B=

π

4

；
（Ⅱ）∵A=

π

6

，B=

π

4

，
∴C=π-（A+B）=

7π

12

．
∵a=2，
∴b=2acosB=2×2×cos

π

4

=2

2

．
因此，△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×2×2

2

×sin

7π

12

=2

2

×

6 + 2

4

=

3

+1．

点评：本题已知三角形的边和角的关系式，求角B的大小与三角形的面积，着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系与三角形的面积求法等知识，属于中档题．