Question

已知双曲线的方程为x²-

y2

4

=1，如图，点A的坐标为（-

5

，0），B是圆x²+（y-

5

）²=1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|+|MB|的最小值．

Answer 1

分析：设点D的坐标为（

5

，0），则点A，D是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得|MA|-|MD|=2a=2．于是|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，再利用|BD|≥|CD|-r即可．

解答：解：设点D的坐标为（

5

，0），则点A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得|MA|-|MD|=2a=2．
∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
又B是圆x²+（y-

5

）²=1上的点，圆的圆心为C（0，

5

），
半径为1，故|BD|≥|CD|-1=

10

-1，从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥

10

+1，
当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为

10

+1．

点评：熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键．