Question

已知a和b是任意非零实数．
（1）求的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用绝对值不等式的性质可得  ≥==4．
（2）由题意可得|2+x|+|2-x|≤ 恒成立，由于的最小值为4，故有x的
范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x的取值范围．
解答：解：（1）∵≥==4，
故的最小值为4．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，
 即|2+x|+|2-x|≤ 恒成立，故|2+x|+|2-x|不大于 的最小值．（4分）
由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a-b）≥0时取等号，
∴ 的最小值等于4．（8分）
∴x的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集．
解不等式得-2≤x≤2，故实数x的取值范围为[-2，2]． （10分）
点评：本题考查查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想．