Question

已知l是过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点的平面AB₁D₁与下底面ABCD所在平面的交线．
（1）求证：D₁B₁∥l；
（2）若AB=a，求l与D₁间的距离．

Answer 1

分析：（1）先证明由D₁B₁∥BD证明D₁B₁∥平面ABCD，再由线面平行的性质定理证明D₁B₁∥l．
（2）利用正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中线面垂直，作出并证明过点D₁与l垂线，在直角三角形中求出．

解答：（1）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁B₁∥BD，
∵BD?平面ABCD，D₁B₁?平面ABCD
∴D₁B₁∥平面ABCD．
又∵平面ABCD∩平面AD₁B₁=l，
∴D₁B₁∥l．

（2）解：在平面ABCD内，由D作DG⊥l于G，连接D₁G，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，得 D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥l，∵D₁D∩DG=D，∴l⊥平面D₁DG
∴D₁G⊥l，即D₁G的长即等于点D₁与l间的距离．
∵l∥D₁B₁∥BD，∴∠DAG=45°．
∴DG=

2

2

a，在直角三角形D₁DG中，
则有 D₁G=

DG2+D1D2

=

1 2 a2+a2

=

6

2

a．

点评：本题考查了平行判定与性质定理的应用，用于线线平行于线面平行的转化；求距离时考查了线面垂直和线线垂直的相互转化，利用了线面垂直定义及判定定理．