Question

（2012•乐山二模）设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取得极小值-

2

3

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，函数f（x）的图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线相互垂直？试说明你的结论；
（3）设f（x）表示的曲线为G，过点（1，-10）作曲线G的切线l，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用条件图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取得极小值-

2

3

．得到对应的条件，然后求出a，b，c，d．
（2）设两点的坐标，求出对应的导数，利用过此两点处的切线相互垂直，得到导数之积为-1，然后判断．
（3）设切点坐标，然后求切线方程，利用过点（1，-10），求出切点坐标，进而可得直线方程．

解答：解：（1）f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，
所以函数f（x）为奇函数，所以b=d=0．
即f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c．
当x=1时，f（x）取得极小值-

2

3

，
所以f'（1）=3a+c=0且f(1)=a+c=-

2

3

，解得a=

1

3

，c=-1．
所以f(x)=

1

3

x3-x．
（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得过此两点处的切线相互垂直．
则由f'（x）=x²-1知两点的切线的斜率分别为k1=x12-1，k2=x22-1．
因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以x12-1≤0，x22-1≤0，
所以(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)≤0，与k1k2=(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)=-1矛盾，
所以假设不成立，即不存在两点，使得过此两点处的切线相互垂直．
（3）设切点坐标为P（x₀，y₀），则切线方程为y-y0=(

x

2 0

-1)(x-x0)，
因为过点（1，-10），所以

y0= 1 3 x 3 0 -x0 -10-y0=( x 2 0 -1)(1-x0)

，
消去y₀得2

x

3 0

-3

x

2 0

-27=0，所以(x0-3)(2

x

2 0

-3x0+9)=0，
解得x₀=3，y₀=9-3=6，
即切点为（3，6）．
所以切线方程为8x-y-18=0．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数的几何意义求切线方程的问题．综合性较强，运算量较大．