Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的n∈N₊，都有8S_n=（a_n+2）²．
（1）写出数列{a_n}的前3项；
（2）求数列{a_n}的通项公式（写出推证过程）；
（3）设bn=

4

an•an+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N₊都成立的最小正整数m的值．

Answer 1

分析：（1）在8S_n=（a_n+2）²_{中，令n=1求a1，令n=2，求a2，l令n=3，可求a3}．
（2））根据Sn与an的固有关系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，得a_n²-a_n-1²-4a_n-4a_n-1=0，化简整理可证．
（3）把（2）题中a_n的递推关系式代入b_n，根据裂项相消法求得T_n，最后解得使得 Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

解答：解：（1）n=1时 8a₁=（a₁+2）²∴a₁=2
n=2时 8（a₁+a₂）=（a₂+2）²∴a₂=6
n=3时 8（a₁+a₂+a₃）=（a₃+2）²∴a₃=10
（2）∵8S_n=（a_n+2）²∴8S_n-1=（a_n-1+2）²（n＞1）
两式相减得：8a_n=（a_n+2）²-（a_n-1+2）²即a_n²-a_n-1²-4a_n-4a_n-1=0
也即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=4即{a_n}是首项为2，公差为4的等差数列
∴a_n=2+（n-1）•4=4n-2
（3）bn=

4

an•an+1

=

4

(4n-2)(4n+2)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

(2n-1)

-

1

(2n+1)

)
∴Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

(2n-1)

-

1

(2n+1)

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

…
∵Tn＜

m

20

对所有n∈N₊都成立∴

m

20

≥

1

2

即m≥10
故m的最小值是10．

点评：本题主要考查Sn与an的固有关系、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力．