Question

如图所示，直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝AB.

(1)证明：BC₁∥平面A₁CD；
(2)求二面角DA₁CE的正弦值．.

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)证明：连结AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁中点．又D是AB中点，连结DF，则BC₁∥DF.
因为DF?平面A₁CD，BC₁平面A₁CD，所以BC₁∥平面A₁CD.
(2)由AC＝CB＝AB得AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A₁(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．
设n＝(x₁，y₁，z₁)是平面A₁CD的法向量，则即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m为平面A₁CE的法向量，则可取m＝(2，1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D-A₁C-E的正弦值为