Question

13．对于函数y=lg$\frac{x}{100}$的图象给出三个命题：下述命题中正确命题的序号是（1），（2），（3）．
（1）存在直线l₁，函数y=lg$\frac{x}{100}$的图象与函数y=100•10^x的图象关于直线l₁对称；
（2）存在直线l₂，函数y=lg$\frac{x}{100}$的图象与函数y=log_0.1$\frac{x}{100}$的图象关于直线l₂对称；
（3）存在直线l₃，函数y=lg$\frac{x}{100}$的图象与函数y=log_0.1x的图象关于直线l₃对称．

Answer 1

分析 逐个考察各函数，并构造出相应的对称直线，
①先考察原函数y=f（x）=lg$\frac{x}{100}$的反函数y=f^-1（x）；
②再考察函数：y=-f（x）；
③最后考察函数：y=-2-f（x）．

解答 解：①先考察原函数y=f（x）=lg$\frac{x}{100}$的反函数y=f^-1（x），
由y=lg$\frac{x}{100}$，解得x=100•10^y，所以，反函数为f^-1（x）=100•10^x，
因为，函数y=lg$\frac{x}{100}$的图象与函数y=100•10^x的图象关于直线y=x轴对称，
所以，存在直线l₁：y=x，使得命题（1）为真；
②再考察函数：y=-f（x），函数y=-f（x）=-lg$\frac{x}{100}$=log_0.1$\frac{x}{100}$，
而y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0轴对称，
所以，存在直线l₂：y=0，使得命题（2）为真；
③最后考察函数：y=-2-f（x），函数y=-2-f（x）=-2+log_0.1$\frac{x}{100}$=log_0.1x，
而y=f（x）与y=-2-f（x）的图象关于直线y=-1轴对称，
所以，存在直线l₃：y=-1，使得命题（3）为真．
故答案为：（1），（2），（3）．

点评 本题主要考查了函数的图象和性质，涉及指数函数与对数函数图象的对称性，属于中档题．