Question

14．已知M为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一动点，过M作椭圆的切线为l，过椭圆的右焦点F₁作l的垂线，垂足为D，求D点的轨迹方程为x²+y²=25．

Answer 1

分析 当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得（9+25k²）x²+50kmx+25m²-225=0，根据直线l和椭圆E有且仅有一个交点，可得△=0，25k²+9．由于直线MD与l垂直，可得直线MD的方程，与l联立，消去m，k即可得出D点的轨迹方程．

解答 解：（i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m①，
联立直线与椭圆方程，消去y并整理，得（9+25k²）x²+50kmx+25m²-225=0，
∵直线l和椭圆E有且仅有一个交点，∴△=2500k²m²-4（9+25k²）（25m²-225）=0，
化简并整理，得m²=25k²+9．
∵直线MD与l垂直，∴直线MD的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x-4）②，
联立①②，解得x=$\frac{4-km}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{4k+m}{1+{k}^{2}}$，
∴x²+y²=（$\frac{4-km}{1+{k}^{2}}$）²+（$\frac{4k+m}{1+{k}^{2}}$）²=$\frac{{m}^{2}+16}{1+{k}^{2}}$=25．（*）
（ii）当切线l的斜率为0时，此时D（4，±3），符合（*）式．  
（iii）当切线l的斜率不存在时，此时D（±5，0），符合（*）式．
故答案为：x²+y²=25．

点评 本题主要考查轨迹方程、直线与椭圆相切的位置关系，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想，属于中档题．