Question

非空集合A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x²，x∈A}，且C⊆B，则实数a的取值范围是（　　）

• A、

  1

  2

  ≤a≤3
• B、-

  1

  2

  ≤a≤2
• C、2≤a≤3
• D、-1≤a≤3

Answer 1

分析：根据条件先求出集合B，C，利用条件C⊆B，即可求实数a的取值范围．

解答：解：∵非空集合A={x|-2≤x≤a}，∴a≥-2，
∴B={y|y=2x+3，x∈A}={y|y=2x+3，-2≤x≤a}={y|-1≤y≤2a+3}，
C={z|z=x²，x∈A}={z|z=x²，-2≤x≤a}，
①若-2≤a≤0，则C={y|a²≤y≤4}，
若C⊆B，则2a+3≥4，解得a≥

1

2

不成立，舍去．
②若0＜a≤2，则C={y|0≤y≤4}，
若C⊆B，则2a+3≥4，解得a≥

1

2

，此时

1

2

≤a≤2成立．
③若a＞2，则C={y|0≤y≤a²}，
若C⊆B，则2a+3≥a²，
即a²-2a-3≤0，
即（a-3）（a+1）≤0，解得-1≤a≤3，
此时2＜a≤3成立．
综上：

1

2

≤a≤2或2＜a≤3，即

1

2

≤a≤3，
故选A．

点评：本题主要考查集合关系的应用，利用集合之间的关系求出集合B，C是解决本题的关键，要对集合C进行分类讨论．