Question

（2012•江西模拟）在直角坐标平面内，已知函数f（x）=log_a（x+2）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角θ的终边过点P，则cos²θ+sin2θ的值等于（　　）

• A．-

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．

  7

  10

• D．-

  7

  10

Answer 1

分析：令函数解析式中x=-1，得到f（x）=3，可得出此函数恒过（-1，3），即为P的坐标，根据P的坐标及P在第二象限，利用任意角的三角函数定义确定出sinθ和cosθ的值，然后将所求式子的第二项利用二倍角的正弦函数公式化简后，将sinθ和cosθ的值代入，计算后即可得到值．

解答：解：∵函数f（x）=log_a（x+2）+3，当x=-1时，f（-1）=3，
∴此函数图象恒过P（-1，3），
又角θ的终边过点P点，
∴sinθ=

3 10

10

，cosθ=-

10

10

，
则cos²θ+sin2θ=cos²θ+2sinθcosθ
=（-

10

10

）²+2×

3 10

10

×（-

10

10

）=-

1

2

．
故选A

点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，对数函数的单调性与特殊点，以及任意角的三角函数定义，其中确定出P的坐标是本题的突破点．