Question

15．已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当-1≤x＜0时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），则方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0在（0，6）内的零点之和为（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 推导出f（x）是以4为周期的周期函数，由当-1≤x＜0时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），作出f（x）在（0，6）内的图象，数形结合能求出方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0在（0，6）内的零点之和．

解答 解：∵定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=f（2-x）=-f（-x），即f（x）=-f（x+2）=f（x+4），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∵当-1≤x＜0时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），
∴f（x）在（0，6）内的图象如右图：
∴结合图象得：
方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0在（0，6）内的零点之和为：
x₁+x₂+x₃+x₄=2+10=12．
故选：C．

点评 本题考查函数在给定区间内的零点之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质和数形结合思想的合理运用．