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已知函数.(1)那么方程f(x)=0在区间[-2009,2009]上的根的个数是    ;(2)对于下列命题:①函数f(x)是周期函数;②函数f(x)既有最大值又有最小值;③函数f(x)的定义域是R,且其图象有对称轴;④对于任意x∈(-1,0),函数f(x)的导函数f'(x)<0.其中真命题的序号是    .(填写出所有真命题的序号)
【答案】分析:观察函数的解析式它不是一个奇函数,由于分子的值从-1到1周期性变化,分母的值随着x的值远离原点,逐渐趋向于正无穷大,函数图象逐渐靠近x轴,由这些性质对四个命题进行判断选出正确选项
解答:解:(1)由于分母恒正,所以方程f(x)=0等价于sinπx=0,由于周期为T=2,故在区间[-2009,2009]上的根的个数是4019个;(2)①函数f(x)是周期函数不正确,因为分母随着自变量的远离原点,趋向于正穷大,所以函数图象无限靠近于X轴,故不是周期函数;②函数f(x)既有最大值又有最小值,由①的判断知,函数存在最大值与最小值,此命题正确;③函数f(x)的定义域是R,且其图象有对称轴,由函数解析式可以得出,其图象周期性穿过X轴,由于分母不断增大,图象往两边延伸都无限靠近于X轴,其对称轴是x=,此命题正确;④对于任意x∈(-1,0),f′(x)<0(f′(x)是函数f(x)的导函数),此命题不正确,由于自变量从-1变化到0分母变小,而分子由0减小到-1,再由-1增大到0,所以函数值的变化是选减小再增大,故导数恒小于0不成立.此命题不正确.综上,②③正确
故答案为4019;②③
点评:考查了函数思想,转化思想,属中档题,是个基础题.还考查函数图象的对称变化和一元二次方程根的问题,以及函数奇偶性的判定方法等基础知识,考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力,数形结合法是解答本类题的重要方法.本题函数解析式复杂,不利于判断
练习册系列答案
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-1,x<0
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