Question

【题目】已知椭圆（）的两个顶点分别为和，两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交于另一点，且.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设直线上有一点（）在的外接圆上，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析: 求出点的坐标，根据点在椭圆上满足椭圆方程，列出一个的等式就可以求出离心率，根据离心率进行减元，把椭圆方程写出来，写出的垂直平分线的方程，直线与 轴交点恰好为外接圆的圆心，得出外接圆的方程，点（）既在直线上又在的外接圆上，联立方程组求出.

试题解析：（Ⅰ） ，且，

点是点和点的中点.

， ， 点的坐标为.

代入得： ，

离心率.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，

所以椭圆的方程可设为.

若，则.

线段的垂直平分线的方程为.

直线与轴的交点是外接圆的圆心，

因此外接圆的方程为.

直线的方程为，于是点的坐标满足方程组

，由解得.

故.