【题目】设函数,
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,若存在正实数,使得对任意都有恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)对函数求导,对a分类讨论得到导函数的正负进而得到单调性;(2)对a分情况讨论,在不同的范围下,得到函数的正负,进而去掉绝对值,再构造函数,转化为函数最值问题.
(1)∵,()
①若,则,故在为增函数
②若时,则,,
故在为减函数,在为增函数
(2)①若,则
由(1)知在为增函数,又,所以对恒成立,
则
设,(),则等价于
,,,
故在递减,在递增,而,显然当,,
故不存在正实数,使得对任意都有恒成立,
故不满足条件
②若,则,由(1)知在为减函数,在为增函数,∵,
∴当时,,此时
∴设,,此时等价于
,
(i)若,∵∴,在为增函数,
∵,∴,
故不存在正实数,使得对任意都有恒成立,
故不满足条件
(ii)若,易知在为减函数,在为增函数,
∵,∴,,故存在正实数,(可取)
使得对任意都有恒成立,故满足条件
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【题目】如图,在长方体中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中:
(1)与直线不平行也不相交的直线有哪几条?
(2)与直线平行的平面有哪几个?
(3)与直线垂直的平面有哪几个?
(4)与平面平行的平面有哪几个?
(5)与平面垂直的平面有哪几个?
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【题目】传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?
优秀 | 合格 | 合计 | |
大学组 | |||
中学组 | |||
合计 |
注:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 7.879 |
(2)若江西参赛选手共80人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;
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【题目】判断下列命题中p是q的什么条件.(充分不必要条件必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件)
(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;
(2),;
(3)有两个角相等,是正三角形;
(4)若,,;
(5),.
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【题目】已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表:
游客数量(百人) | ||||
拥挤等级 | 优 | 良 | 拥挤 | 严重拥挤 |
该景区对月份的游客量作出如图的统计数据:
(Ⅰ)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求,的值;
游客数量(百人) | ||||
天数 | 10 | 4 | 1 | |
频率 |
(Ⅱ)估计该景区月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表):
(Ⅲ)某人选择在月日至月日这天中任选天到该景区游玩,求他这天遇到的游客拥挤等级均为优的概率.
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【题目】给出以下命题:
①双曲线的渐近线方程为y=±x;
②命题p:“x∈R,sinx+≥2”是真命题;
③已知线性回归方程为=3+2x,当变量x增加2个单位,其预报值平均增加4个单位;
④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=0.2,则P(-1<ξ<0)=0.6;
⑤设,则
则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号).
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