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如图,S(1,1)是抛物线为y2=2px(p>0)上的一点,弦SC,SD分别交x小轴于A,B两点,且SA=SB.
(I)求证:直线CD的斜率为定值;
(Ⅱ)延长DC交x轴于点E,若,求cos∠CSD的值.

【答案】分析:(1)将点(1,1)代入y2=2px,得2p=1,抛物线方程为y2=x,设直线SA的方程为y-1=k(x-1),C(x1,y1),与抛物线方程y2=x联立得:ky2-y+1-k=0.再由根与系数的关系能够导出直线CD的斜率为定值.
(2)设E(t,0),由=,知,解得k=2,所以直线SA的方程为y=2x-1,由此能求出cos∠CSD=cos∠ASB的值.
解答:解:(1)将点(1,1)代入y2=2px,得2p=1
∴抛物线方程为y2=x(1分)
设直线SA的方程为y-1=k(x-1),C(x1,y1
与抛物线方程y2=x联立得:ky2-y+1-k=0(2分)
∴y1+1=∴y1=-1
(3分)
由题意有SA=SB,∴直线SB的斜率为-k
(4分)
(5分)

(2)设E(t,0)
=

(6分)
∴k=2(7分)
∴直线SA的方程为y=2x-1(8分)
B(,0)∴A(,0)(9分)
同理(10分)
∴cos∠CSD=cos∠ASB=.(12分)
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,注意公式的合理运用.
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(I)求证:直线CD的斜率为定值;
(Ⅱ)延长DC交x轴于点E,若|EC|=
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|DE|,求cos2∠CSD的值.

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(I)求证:直线CD的斜率为定值;
(Ⅱ)延长DC交x轴于点E,若
EC
=
1
3
ED
,求cos∠CSD的值.

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