Question

若不等式|a-1|≥x+y+z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，则实数a的取值范围是

a≥

3

+1或a≤-

3

+1

．

Answer 1

分析：不等式|a-1|≥x+y+z恒成立，只要|a-1|≥（x+y+z）_max，利用基本不等式3=3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²求出x+y+z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可．

解答：解：∵x²+y²≥2xy
x²+z²≥2xz
y²+z²≥2yz
∴2（x²+y²+z²）≥2（xy+xz+yz）
∴3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²
∵x²+y²+z²=1，
∴（x+y+z）²≤3
∴-

3

≤x+y+z≤

3

∵|a-1|≥x+y+z恒成立
∴|a-1|≥（x+y+z）_max
即|a-1|≥

3

∴a≥

3

+1或a≤-

3

+1
故答案为：a≥

3

+1或a≤-

3

+1

点评：本题主要考查了基本不等式求解最值的应用及函数的恒成立与最值的相互转化关系的应用