Question

已知实数x，y满足

x+y-3≥0 x-y+1≥0 x≤2

（1）若z=

y

x

，求z的最大值和最小值；
（2）若z=x²+y²，求z的最大值和最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论．
（2）z的几何意义为到原点的距离的平方，利用数形结合即可．

解答： 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：
则z的几何意义是P（x，y）与原点连线的斜率，
由

x=2 x+y-3=0

，解得

x=2 y=1

，即A（2，1），
由

x=2 x-y+1=0

，解得

x=2 y=3

，即C（2，3），
由

x+y-3=0 x-y+1=0

，解得

x=1 y=2

，即B（1，2），
由图象知OB的斜率最大为

2

1

=2，OA的斜率最小为

1

2

，
故z的最大值是2，最小值是

1

2

．
（2）z的几何意义为到原点的距离的平方，
由图象知，OC的距离最大，此时z=x²+y²=2²+3²=4+9=13，
原点到直线x+y-3=0的距离最小，d=

|-3|

2

=

3

2

此时z=d²=

9

2

，
故z最大值是13，最小值是

9

2

．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．