Question

11．直线y=a分别与函数y=3x+3和y=2x+lnx的图象相交于M，N两点，则|MN|的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 1
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 设M（x₁，a），N（x₂，a），则3x₁+3=2x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|MN|，利用导数求出|MN|的最小值．

解答 解：设M（x₁，a），N（x₂，a），
则3x₁+3=2x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{3}$（2x₂+lnx₂-3），
∴|MN|=x₂-x₁=$\frac{1}{3}$（x₂-lnx₂）+1，
令y=$\frac{1}{3}$（x-lnx）+1，
则y′=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{x}$），
函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为$\frac{4}{3}$．
故选：D

点评 本题考查两点间距离的最小值的求法，是中档题，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．