Question

已知 x1，x2，x3…xn的平均数为

.

x

，其方差为

s

2 x

，yi=axi+b，（i=1，2，3，…n），y1，y2，y3，…yn的平均数为

.

y

，其方差为

s

2 y

．
求证：(1) 

.

y

=a

.

x

+b(2) 

s

2 y

=a2×

s

2 x

．

Answer 1

分析：（1）利用平均数计算公式即可证明；
（2）利用方差的计算公式即可证明．

解答：证明：（1）由已知有：

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

， yi=axi+b (i=1，2，3，…，n)，

.

y

=

1

n

(y1+y2+…+yn)=

1

n

[(ax1+b)+(ax2+b)+…+(axn+b)]=a×

x1+x2+…+xn

n

+

1

n

×nb=a

.

x

+b，
故

.

y

=a

.

x

+b成立．
（2）∵

s

2 x

=

(x1- . x )2+(x2- . x )2+…+(xn- . x )2

n

s

2 y

=

(y1- . y )2+(y2- . y )2+…+(yn- . y )2

n

=

[(ax1+b)-(a . x +b)]2+[(ax2+b)-(a . x +b)]2+…+[(axn+b)-(a . x +b)]2

n

=

a2

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]=a2×

s

2 x

即  

s

2 y

=a×

s

2 x

成立．

点评：本题考查了平均数计算公式、方差的计算公式基础知识与基本方法，考查了计算能力．