Question

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=1，PD=

2

．
（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为

π

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若M为PA中点，证明MN∥AC，利用线面平行的判定，即可证明AC∥平面MDE；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面PBC的法向量，即可求直线PE与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）确定平面QAD的法向量，利用平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为

π

3

，结合向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，
∵△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点，
∴MN∥AC…（1分）
因为MN?面MDE，又AC?面MDE，所以AC∥平面MDE…（3分）
（Ⅱ）解：∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，
又AD?平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD，
∴AD⊥平面PDCE，
又PD?平面PDCE，∴AD⊥PD．…（4分）
以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，

2

)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，

PB

=(1，1，-

2

)，

BC

(-1，1，0)，

PE

=

DC

=(0，2，0)…（6分）
设面PBC的法向量

m

=（x，y，1），应有

m • PB =(x，y，1)•(1，1，- 2 )=0 m • BC =(x，y，1)•(-1，1，0)=0

即：

x+y- 2 =0 -x+y=0

解得：

x= 2 2 y= 2 2

，所以

m

=(

2

2

，

2

2

，1)…（8分）
设PE与PBC所成角的大小为θ，∵

PE

=(0，2，0)
∴sinθ=|cos＜

PE，

m＞|=

| m • PE |

| m |•| PE |

=

2

2 ×2

=

1

2

，…（9分）
（Ⅲ）解：设

DQ

=

DP

+λ

PC

=(0，0，

2

)+λ(0，2，-

2

)=(0，2λ，

2

-

2

λ)-------（10分）

DA

=(1，0，0)
设平面QAD的法向量为

n

=（x′，y′，1），

n • DQ =(x′，y′，1)•(0，2λ， 2 - 2 λ)=0 n • DA =(x′，y′，1)•(1，0，0)=0

即：

2λy′+ 2 - 2 λ=0 x′=0

…（11分）
解得：

x′=0 y′= 2 (λ-1) 2λ

，所以

n

=(0，

2 (λ-1)

2λ

，1)…（12分）
∵面PBC的法向量

m

=(

2

2

，

2

2

，1)，平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为

π

3

．
∴|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

| λ-1 2λ +1|

( 2 (λ-1) 2λ )2+1 × 2

=

1

2

，…（13分）
∴λ=0或

2

3

所以，PC上存在点Q满足条件，Q与P重合，或PQ=

2

3

PC…（14分）

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查面面角，考查空间向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定平面的法向量是关键．