Question

【题目】已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P是椭圆上的任意一点，且的最大值为4，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ设点，过点P作两条直线，与圆相切且分别交椭圆于M，N，求证：直线MN的斜率为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

Ⅰ利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出a，b，然后求解椭圆方程．

Ⅱ直线，的斜率存在，设为，，，，直线，与圆相切，则有，直线的方程为直线的方程为，与椭圆方程联立，求出，同理，当与椭圆相交时，然后求解直线的斜率即可．

解：Ⅰ双曲线的离心率为，

可得椭圆C的离心率为，设椭圆的半焦距为c，，

，

，

，

又

椭圆方程为；

Ⅱ证明：显然两直线，的斜率存在，

设为，，，，

由于直线，与圆相切，则有，

直线的方程为，

联立椭圆方程，

消去y，得，

，M为直线与椭圆的交点，所以，

同理，当与椭圆相交时，，

，而，

直线MN的斜率．