Question

已知各项均为整数的数列{a_n}满足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在正整数m、p使得：a_m+a_m+1+…+a_m+p=a_ma_m+1…a_m+p，请找出所有的有序数对（m，p），并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）各项均为整数的数列{a_n}满足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，列方程，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，即可求出数列{a_n}的通项公式；（2）根据（1）得出数列{a_n}为：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…，分类讨论当a_m，a_m+1，…，a_m+p均为负数和当a_m，a_m+1，…，a_m+p均为正数，
可得a_m+a_m+1+…+a_m+p=0，根据负数项只有九项，我们按负数项分类：即可求得结果．

解答：解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为d，从第11项起构成的等比数列的公比为q，
由a13=

a122

a11

=

(-1+3d)2

-1+2d

=4，可得

q=2 d=1

，或

q=6 d= 5 9

．
又数列{a_n}各项均为整数，故

q=2 d=1

；  所以，an=

n-10 n≤12 2n-11，n≥13

n∈N*．
（2）数列{a_n}为：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…
当a_m，a_m+1，…，a_m+p均为负数时，
显然a_m+a_m+1+…+a_m+p＜0，所以a_ma_m+1…a_m+p＜0，即a_m，a_m+1，…，a_m+p共有奇数项，即p为偶数；
又最多有9个负数项，所以p≤8，p=2时，经验算只有（-3）+（-2）+（-1）=（-3）•（-2）•（-1）符合，
此时m=7；p=4，6，8时，经验算没有一个符合；
故当a_m，a_m+1，…，a_m+p均为负数时，存在有序数对（7，2）符合要求．
当a_m，a_m+1，…，a_m+p均为正数时，m≥11且m∈N^*，
a_m+a_m+1+…+a_m+p=2^m-11+2^m-10+…+2^m+p-11=2^m-11（1+2+…+2^p）=2^m-11（2^p+1-1）amam+1…am+p=2m-11•2m-10…2m+p-11=(2m-11)p•21+2+…+p=(2m-11)p•2

(p+1)p

2

因为2^p+1-1是比1大的奇数，所以a_m+a_m+1+…+a_m+p能被某个大于1的奇数（2^p+1-1）整除，
而(2m-11)p•2

(p+1)p

2

不存在大于1的奇约数，故a_m+a_m+1+…+a_m+p≠a_ma_m+1…a_m+p；
故当a_m，a_m+1，…，a_m+p均为正数时，不存在符合要求有序数对；   
当a_m，a_m+1，…，a_m+p中既有正数又有负数，即a_m，a_m+1，…，a_m+p中含有0时，
有a_ma_m+1…a_m+p=0，所以a_m+a_m+1+…+a_m+p=0，
因为负数项只有九项，我们按负数项分类：
含1个负数项时，-1，0，1，符合，此时m=9，p=2；
含2个负数项时，-2，-1，0，1，2，符合，此时m=8，p=4；
含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；
含5个负数项时，-5，-4，-3-2，-1，0，1，2，4，8，符合，此时m=5，p=9；
含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；
故当a_m，a_m+1，…，a_m+p中既有正数又有负数时，存在三组有序数对（9，2），（8，4），（5，9）符合要求；
综上，存在四组有序数对（9，2），（8，4），（5，9），（7，2）符合要求．

点评：本题是难题，考查等比数列和等差数列的综合问题，考查分析问题解决问题的能力和运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法．