Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 离心率e= ，与双曲线 有相同的焦点． （I）求椭圆C的标准方程；
（II）过点F1的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且| + N|= ，求直线l的方程．
（Ⅲ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由双曲线 ，得 ，c=1， 又 ，得a= ，∴b2=1，
故椭圆C的标准方程为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），设过点F1（﹣1，0）的直线l：y=k（x+1），
由 消去y，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，
设M（x1 ． y1），N（x2 ， y2），
则x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
y1+y2=k（x1+x2+2）= ，
由于F2（1，0），| + N|= ，
则 =（x1﹣1，y1）， =（x2﹣1，y2），
即有（x1+x2﹣2）2+（y1+y2）2= ，
即有（﹣ ﹣2）2+（ ）2= ，
解得k2=1．检验：△=16k4﹣4（1+2k2）（（2k2﹣2）=16＞0，
故k=±1．
则直线l的方程为：y=x+1或y=﹣x﹣1；
（Ⅲ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点
A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）且OA⊥OB，
①当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，
与x2+2y2=2联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∴△=8（2k2﹣m2+1）＞0，
∴ ，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= ，
∵ =x1x2+y1y2=0，
∴ ，
∴3m2﹣2k2﹣2=0，则2k2=3m2﹣2，
∴对任意k，符合条件的m满足 ，
∴ ，即m≥ 或m≤﹣ ，
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为r= ， = ，
∴所求的圆为 ，此时该圆的切线y=kx+m都满足m≥ 或m≤﹣ ，
∴所求的圆为 ，
②当切线的斜率不存在时，切线x=± ，
与椭圆x2+2y2=2的两个交点为（ ，± ）或（﹣ ，± ），
满足OA⊥OB，
综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）且OA⊥OB
【解析】（I）由双曲线方程求出椭圆的焦点，结合离心率求得a，b的值，则椭圆方程可求；（II）设出过F1的直线l的方程，与椭圆方程联立，由向量的模列式求得直线的斜率得答案；（Ⅲ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）且OA⊥OB，然后分当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，与x2+2y2=2联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，利用向量垂直与数量积间的关系求得直线方程，已知切线垂直x轴时得答案．