Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E为棱CC₁的中点，已知AB=

2

，BB₁=2，BC=1．
（1）证明：BE是异面直线AB与EB₁的公垂线；
（2）求二面角A-EB₁-A₁的大小；
（3）求点A₁到面AEB₁的距离．

Answer 1

（1）证明：∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，∴AB⊥面BC₁，∴AB⊥BE
∵BE=B₁E=

2

，BB₁=2，∴∠BEB₁=90°，∴BE⊥EB₁
BE是异面直线AB与EB₁的公垂
（2）∵AB⊥面BC₁，BE⊥EB₁，∴AE⊥EB₁
∴∠AEB₁为二面角A-EB₁-A₁的平面角
∵AB=

2

，BE=

2

，∴∠AEB=45°
∵面A₁B₁E⊥面BCB₁C₁，∴二面角A-EB₁-A₁为45°
（3）设点A₁到面AEB₁的距离为h，
由上证及题设条件知S△AEB1=

1

2

•AE•EB1=

2

，
又S△A1B1A=

1

2

•A1B1•AA1=

2

，点E到面A₁B₁A的距离是1
∵VA1-AEB1=VE-A1B1A，
∴

1

3

×

2

×h=

1

3

×

2

×1
∴h=1
即点A₁到面AEB₁的距离．