【题目】已知函数f(x)=x2+2﹣alnx﹣bx(a>0).
(Ⅰ)若a=1,b=3,求函数y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x1)=f(x2)=0,且x1≠x2,证明:f′()>0.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求f(x)的导数,可得切线的斜率,以及切点,由点斜式方程可得切线方程;
(Ⅱ)由函数零点定义,两方程相减可得两个零点之间的关系,用变量集中的方法,把两个零点集中为一个变量,求导数,判断单调性,即可得证..
解:(Ⅰ)若a=1,b=3,f(x)=x2+2﹣lnx﹣3x,
导数为f′(x)=2x﹣﹣3,
可得在x=1处切线的斜率为﹣2,
f(1)=0,可得切线方程为y=﹣2(x﹣1),
即为2x+y﹣2=0;
(Ⅱ)证明:若f(x1)=f(x2)=0,且x1≠x2,
可得x12+2﹣alnx1﹣bx1=0,x22+2﹣alnx2﹣bx2=0,
两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)﹣a(lnx1﹣lnx2)﹣b(x1﹣x2)=0,
即有x1+x2﹣b=a,
可设x0=,
由f′(x0)=2x0﹣﹣b=(x1+x2﹣b)﹣
=a﹣
=[ln﹣]
=[ln﹣],
令t=,t>1,可得f′(x0)=[lnt﹣],
设u(t)=lnt﹣,t>1,
导数为u′(t)=﹣=>0,
可得u(t)在t>1递增,且u(1)=0,
可得u(t)>u(1)=0,
即lnt﹣>0,
又a>0,x2﹣x1>0,可得f′(x0)>0,
综上可得f′()>0.
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【题目】某车间在两天内,每天生产10件某产品,其中第一天第二天分别生产了1件2件次品,而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.
(1)求两天全部通过检查的概率;
(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚300元,通过1天,2天分别奖300元900元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元?
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【题目】炎炎夏季,水蜜桃成为备受大家欢迎的一种水果,某果园的水蜜桃质量分布如图所示.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)以频率估计概率,若从该果园中随机采摘5个水蜜桃,记质量在300克以上(含300克)的个数为X,求X的分布列及数学期望;
(Ⅲ)经市场调查,该种水蜜桃在过去50天的销售量(单位:千克)和价格(单位:元/千克)均为销售时间t(天)的函数,且销售量近似地满足f(t)=﹣3t+300(1≤t≤50,t∈N),前30天价格为g(t)=+20(1≤t≤30,t∈N),后20天价格为g(t)=30(31≤t≤50,t∈N),求日销售额S的最大值.
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【题目】如图,正方体是一个棱长为2的空心蔬菜大棚,由8个钢结构(地面没有)组合搭建而成的,四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖,已知为柱上一点(不在点、处),(),菜农需要在地面正方形内画出一条曲线将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理,现已知点为地面正方形内的曲线上任意一点,设、分别为在点处观测和的仰角.
(1)若,请说明曲线是何种曲线,为什么?
(2)若为柱的中点,且时,请求出点所在区域的面积.
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【题目】已知椭圆 的离心率为,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M为椭圆上第一象限内一动点,A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线MB与x轴交于点C,直线MA与y轴交于点D,求证:四边形ABCD的面积为定值.
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【题目】已知函数,若给定非零实数,对于任意实数,总存在非零常数,使得恒成立,则称函数是上的级类周期函数,若函数是上的2级2类周期函数,且当时,,又函数.若,,使成立,则实数的取值范围是_______.
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【题目】如图,设P、M、N分别是正方体的棱,AD,AB上非顶点的任意点.
①的外心必在的某一边上;
②的外心必在的内部;
③的垂心必是点A在平面PMN上的射影;
④若线段AP、AM、AN的长分别为a、b、c,则.其中( ).
A. 只有①、④正确.
B. 只有③、④正确.
C. 只有②、③、④正确.
D. 只有②、③正确.
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