Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，且AB=1，BC=2，又PA⊥底面ABCD，PA=

2

，又E为边BC上异于B、C的点，且PE⊥ED．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求A到平面PED的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：∠BAC=90°，并且AB=1，BC=2，可得∠ABC=60°，AC=

3

即可得到平行四边形的面积，进而求出几何体的体积．
（2）由题意可得：DE⊥AE，设BE=x，即可表示出AE²=x²-x+1与ED²=x²-5x+7，可得x=1，再由面PAE⊥平面PED可得：A到面PED的距离转化为A到棱PE的距离，进而根据Rt△PAE的边长关系得到答案．

解答：解：（1）在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，∠BAC=90°，
又因为AB=1，BC=2，则∠ABC=60°，AC=

3

所以四边形ABCD面积S=

3

．
又因为PA⊥平面ABCD，PA=

2

，
所以VP-ABCD=

1

3

•

3

•

2

=

6

3

…（6分）
（2）因为PE⊥ED，PA⊥ED，
所以ED⊥平面PAE，
所以DE⊥AE．
在平行四边形ABCD中，设BE=x，
则AE2=1+x2-2•1•x•

1

2

=x2-x+1
ED2=1+(2-x)2+2×1×(2-x)×

1

2

=x2 -5x+7
由AD²=AE²+DE²可知：x²-3x+2=0，故x=1，x=2（舍）
因为DE⊥平面PAE，
所以面PAE⊥平面PED．
所以A到面PED的距离转化为A到棱PE的距离．
在Rt△PAE中，PA=

2

，AE=BE=1，
所以PE=

3

，
所以A到PE的距离d=

1× 2

3

=

6

3

．
故A到平面PED之距为

6

3

．…（12分）

点评：本题主要考查点到平面的距离，求点到面的距离时，如果直接法不好求的话，一般转化为棱锥的高利用等体积法来求．