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【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是边长为2的正方形,M、N分别为PB、PC的中点.

(1)证明:MN∥平面PAD;
(2)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求三棱锥C﹣BDN的体积V.

【答案】
(1)证明:∵M,N是PB,PC的中点,

∴MN∥BC,又BC∥AD,

∴MN∥AD,又MN平面PAD,AD平面PAD,

∴MN∥平面PAD


(2)证明:连接BD,则BD=2

∵PD⊥底面ABCD,

∴∠PBD为PB与平面ABCD所成的角,

∴∠PBD=45°,

∴PD=BD=2

∵N为PC的中点,

∴N到平面ABCD的距离h= PD=

∴VCBDN=VNBCD= = =


【解析】(1)由MN∥BC∥AD即可得出MN∥AD,从而得出结论;(2)连接BD,由PD=BD=2 得出N到平面ABCD的距离为h= ,则VCBDN=VNBCD=
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行).

练习册系列答案
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【题目】已知函数.

(1)若是函数的一个极值点, 和1是的两个零点,且,求的值;

(2)若,且的两个极值点,求证:当时, .

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【题目】某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下表所示.

组号

分组

频数

频率

第1组

[160,165)

5

0.050

第2组

[165,170)

n

0.350

第3组

[170,175)

30

p

第4组

[175,180)

20

0.200

第5组

[180,185]

10

0.100

合计

100

1.000


(1)求频率分布表中n,p的值,并补充完整相应的频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在(2)的前提下,学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试,求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率.

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【题目】已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,直线与圆交于 两点.

(1)求圆的直角坐标方程及弦的长;

(2)动点在圆上(不与 重合),试求的面积的最大值.

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【题目】2017年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.

方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠;若摸出2个红球则打6折,若摸出1个红球,则打7折;若没摸出红球,则不打折.

方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.

(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;

(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?

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【题目】雾霾天气是一种大气污染状态,PM2.5被认为是造成雾霾天气的“元凶”,PM2.5日均值越小,空气质量越好.国家环境标准设定的PM2.5日均值(微克/立方米)与空气质量等级对应关系如表:

PM2.5日均值
(微克/立方米)

0﹣﹣35

35﹣﹣75

75﹣﹣115

115﹣﹣150

150﹣﹣250

250以上

空气质量等级

1级

2级

3级
轻度污染

4级
中度污染

5级
重度污染

6级
严重污染

由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据,用茎叶图表示,如图所示.

(1)试根据统计数据,分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数,并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好?
(2)考虑用频率估计概率的方法,试根据统计数据,估计甲城区某一天空气质量等级为3
(3)分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个,试求这两城区空气质量等级相同的概率.

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【题目】设函数f(x)=3ax2+2bx+c,且有a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.
(Ⅰ)求证:a>0,且﹣2< <﹣1;
(Ⅱ)求证:函数y=f(x)在区间(0,1)内有两个不同的零点.

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【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足 = +
(1)求证:A、B、C三点共线;
(2)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx)(0≤x≤ ),f(x)= ﹣(2m+ )| |的最小值为﹣ ,求实数m的值.

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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明:PA∥平面EDB;
(2)证明:PB⊥平面EFD.

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