Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，过F₁作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF₂垂直于x轴，则椭圆的离心率为

2

-1

．

Answer 1

分析：根据题意，得到△MF₁F₂是以MF₁为斜边的等腰直角三角形，可设出它的三边的长，再根据椭圆的定义和离心率的公式，即可得到离心率e=

2c

2a

=

2

-1．

解答：解：∵MF₂垂直于x轴，∠MF₁F₂=45°，
∴△MF₁F₂是等腰直角三角形，以MF₁为斜边．
设MF₁=

2

m，（m＞0），则MF₂=F₁F₂=m，
∵F₁、F₂是椭圆的左右焦点，
∴MF₁+MF₂=2a，即2a=（1+

2

）m
而2c=F₁F₂=m，所以根据椭圆离心率的定义，得
e=

c

a

=

2c

2a

=

m

(1+ 2 )m

=

2

-1
故答案为：

2

-1

点评：本题给出椭圆的一个焦点三角形是等腰直角三角形，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义、椭圆的几何性质、几何量的计算以及数形结合，属于中档题．