Question

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若sin²A-cos（B+C）=

5

4

且a²+c²-b²=

2

ac，求A、B、C的大小．

Answer 1

分析：根据三角形内角和，利用诱导公式得cos（B+C）=-cosA，代入题中第一个等式解出cosA=

1

2

，得A=

π

3

．根据a²+c²-b²=

2

ac利用余弦定理算出cosB=

2

2

，可得B=

π

4

，最后根据三角形内角和定理算出角C，可得答案．

解答：解：∵sin²A-cos（B+C）=

5

4

，cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA．
∴（1-cos²A）+cosA=

5

4

，即cos²A-cosA+

1

4

=0，解之得cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

．
又∵a²+c²-b²=

2

ac，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

2

，
结合B∈（0，π），可得B=

π

4

∵A+B+C=π，∴C=π-

π

3

-

π

4

=

5π

12

．

点评：本题给出三角形的边的关系和角的关系式，求三个内角的大小，着重考查了利用余弦定理解三角形、同角三角函数的关系和诱导公式等知识，属于中档题．