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10.已知函数f(x)是定义域为R的非零函数,设函数F(x)=f(x)$+\frac{1}{x}$.
(1)若f(x)为奇函数,试用定义证明:F(x)为奇函数;
(2)若f(x)为偶函数,试判断F(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f(x)为奇函数,且在区间(-∞,0)上单调递减,试判断F(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义给予证明.

分析 (1)若f(x)为奇函数,利用函数奇偶性的定义即可证明F(x)为奇函数;
(2)若f(x)为偶函数,利用函数奇偶性的定义即可证明判断F(x)的奇偶性;
(3)根据函数奇偶性和单调性的关系,结合函数单调性的定义即可证明.

解答 解:(1)若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),
则F(-x)=f(-x)+$\frac{1}{-x}$=-f(x)-$\frac{1}{x}$=-(f(x)+$\frac{1}{x}$)=-F(x),
即:F(x)为奇函数;
(2)若f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),
则F(-x)=f(-x)+$\frac{1}{-x}$=f(x)-$\frac{1}{x}$≠-(f(x)+$\frac{1}{x}$)=-F(x),
且F(-x)≠F(x),
则F(x)为非奇非偶函数;
(3)设0<x1<x2
若f(x)为奇函数,且在区间(-∞,0)上单调递减,
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,即f(x1)>f(x2),
则F(x1)-F(x2)=f(x1)+$\frac{1}{{x}_{1}}$-f(x2)-$\frac{1}{{x}_{2}}$=f(x1)-f(x2)+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$,
∵0<x1<x2
∴x2-x1>0,
则F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(x2)+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$>0,
即F(x1)>F(x2),故函数F(x)在区间(0,+∞)上的单调递减.

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用,根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键.

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