Question

5．已知三棱锥A-BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=$\sqrt{3}$，BC=2，CD=$\sqrt{5}$，则球O的表面积为12π．

Answer 1

分析 证明BC⊥平面ACD，三棱锥S-ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：由题意，AC⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴AC⊥BC，
∵BC⊥CD，AC∩CD=C，
∴BC⊥平面ACD，
∴三棱锥S-ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，
∴4R²=AC²+BC²+CD²=12，
∴R=$\sqrt{3}$，
∴球O的表面积为4πR²=12π．
故答案为12π．

点评 本题给出特殊的三棱锥，由它的外接球的表面积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．