Question

已知曲线C：x²+y²﹣2x﹣4y+m=0
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线y=x+1交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

解：（1）由D²+E²﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，
解得：m＜5；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y=x+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0③，
将直线方程y=x+1与曲线C：x²+y²﹣2x﹣4y+m=0，
联立并消去y得：2x²﹣4x+m﹣3=0，
由韦达定理得：x₁+x₂=2①，x₁x₂= ②，
将①、②代入③得：4+ +1=0，则m=﹣7．