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1.如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠1)在区间(-∞,0]上是减函数,那么实数a的取值范围是0<a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a>1.

分析 利用换元法将函数转化为一元二次函数形式,利用符合函数单调性之间的关系即可得到结论.

解答 解:设t=ax,当x≥0时,
则函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠0)等价为:
y=g(t)=t(t-3a2-1)=t2-(3a2+1)t,
对称轴t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$
若a>1,则函数t=ax,为增函数,
当x≤0时,0<t≤1,
若函数f(x)在区间(-∞,0]上是减函数,
则等价为函数g(t)在(0,1]上为减函数,
则满足$\frac{3{a}^{2}-1}{2}$≥1,即3a2≥3,即a2≥1,解得a≥1或a≤-1,
∵a>1,∴此时a>1.
$\frac{\sqrt{3}}{3}$,此时不成立,
若0<a<1,则当x≤0时,则t≥1,此时函数t=ax单调递减,
若函数f(x)在区间(-∞,0]上是减函数,
则g(t)在t≥1单调递增,
即对称轴t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$≤1,即3a2≤1,即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵0<a<1,∴0<a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
综上0<a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a>1.
故答案为:0<a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a>1

点评 本题主要考查符合函数单调性的应用,根据同增异减的原则是解决本题的根据,本题还使用了换元法,注意对a要进行分类讨论.

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