Question

1．如果函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间（-∞，0]上是减函数，那么实数a的取值范围是0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a＞1．

Answer 1

分析 利用换元法将函数转化为一元二次函数形式，利用符合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答 解：设t=a^x，当x≥0时，
则函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠0）等价为：
y=g（t）=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t，
对称轴t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$
若a＞1，则函数t=a^x，为增函数，
当x≤0时，0＜t≤1，
若函数f（x）在区间（-∞，0]上是减函数，
则等价为函数g（t）在（0，1]上为减函数，
则满足$\frac{3{a}^{2}-1}{2}$≥1，即3a²≥3，即a²≥1，解得a≥1或a≤-1，
∵a＞1，∴此时a＞1．
$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时不成立，
若0＜a＜1，则当x≤0时，则t≥1，此时函数t=a^x单调递减，
若函数f（x）在区间（-∞，0]上是减函数，
则g（t）在t≥1单调递增，
即对称轴t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$≤1，即3a²≤1，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜a＜1，∴0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
综上0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a＞1．
故答案为：0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a＞1

点评 本题主要考查符合函数单调性的应用，根据同增异减的原则是解决本题的根据，本题还使用了换元法，注意对a要进行分类讨论．