Question

4．设函数f（x）=x^m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{$\frac{1}{f（n）}$}（n∈N^*）的前n项和是$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，求出m，a，利用裂项法进行求和．

解答 解：函数的f（x）的导数f′（x）=mx^m-1+a，
∵f′（x）=2x+1，
∴m=2，a=1，
即f（x）=x²+x，
则$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则数列{$\frac{1}{f（n）}$}（n∈N^*）的前n项和S=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{n+1}$

点评 本题主要考查数列求和，根据导数公式求出函数f（x）的解析式，利用裂项法是解决本题的关键．