Question

4．已知△ABC中，边a，b，c按顺序所对的角A，B，C成等差数列；
（Ⅰ）如果a，b，c成等差数列，请判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若b=2$\sqrt{3}$，且cos2A+cos2B=1+cos2C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 由题意可得B=$\frac{π}{3}$，（Ⅰ）如果a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，由三角函数公式可得A=$\frac{π}{3}$，可得等边三角形；
（Ⅱ）由题意和三角函数公式可得A=$\frac{π}{6}$，可得ABC为直角三角形，求a值代入面积公式可得．

解答 解：∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
结合A+B+C=π可得B=$\frac{π}{3}$，
（Ⅰ）如果a，b，c成等差数列，
则2b=a+c，故2sinB=sinA+sinC，
∴2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）
∴$\sqrt{3}$=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA，
∴1=sin（A+$\frac{π}{6}$），故A=$\frac{π}{3}$
∴△ABC的形状为等边三角形；
（Ⅱ）∵b=2$\sqrt{3}$，且cos2A+cos2B=1+cos2C，
∴cos2A-$\frac{1}{2}$=1+cos（$\frac{4π}{3}$-2A），
∴cos2A-$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A，
∴$\frac{3}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A+$\frac{1}{2}$sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，或2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
解得A=0（舍去），或A=$\frac{π}{6}$
∴C=π-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，故△ABC为直角三角形，
∴a=2$\sqrt{3}$tan$\frac{π}{6}$=2，
故面积S=$\frac{1}{2}ab$=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形形状的判定，属中档题．