Question

如图，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e＝.过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）＝1（2）存在定点M(1，0)，

学生错解：解：(1)略
(2)由消去y得(4k²＋3)x²＋8kmx＋4m²－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x₀，y₀)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k²m²－4(4k²＋3)(4m²－12)＝0，化简得4k²－m²＋3＝0.(*)
此时x₀＝－＝－，y₀＝kx₀＋m＝，所以P.
由得Q(4，4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
设M(x_1，0)，则·＝0对满足(*)式的m，k恒成立．
因为＝，＝(4－x_1，4k＋m)，
由·＝0，得－－4x₁＋＋＋3＝0，
整理，得(4x₁－4)＋－4x₁＋3＝0.(**)，方程无解．
故不存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
审题引导：(1)建立方程组求解参数a，b，c；(2)恒成立问题的求解；(3)探索性问题的一般解题思路．
规范解答：解：(1)因为AB＋AF₂＋BF₂＝8，
即AF₁＋F₁B＋AF₂＋BF₂＝8，(1分)
又AF₁＋AF₂＝BF₁＋BF₂＝2a，(2分)
所以4a＝8，a＝2.又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分)
所以b＝＝.故椭圆E的方程是＝1.(4分)
(2)由消去y得(4k²＋3)x²＋8kmx＋4m²－12＝0.(5分)
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x₀，y₀)，所以m≠0且Δ＝0，(6分)
即64k²m²－4(4k²＋3)(4m²－12)＝0，化简得4k²－m²＋3＝0.(*)(7分)
此时x₀＝－＝－，y₀＝kx₀＋m＝，所以P.(8分)
由得Q(4，4k＋m)．(9分)
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．(10分)
设M(x_1，0)，则·＝0对满足(*)式的m，k恒成立．
因为＝，＝(4－x_1，4k＋m)，
由·＝0，得－－4x₁＋＋＋3＝0，
整理，得(4x₁－4)＋－4x₁＋3＝0.(**)(12分)
由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x₁＝1.(13分)
故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.(14分)
错因分析：本题易错之处是忽视定义的应用；在处理第(2)问时，不清楚圆的对称性，从而不能判断出点M必在x轴上．同时不会利用恒成立求解．