【题目】已知函数,其中t∈R.
(1)当t=1时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当t≠0时,求的单调区间.
【答案】(1) y=-6x.
(2)见解析.
【解析】分析:(1)求出导数,得到切线斜率,然后可得切线方程;
(2)求出导函数,由得或,按和的大小分类讨论后可得的正负及单调区间.
详解: (1)当t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f′(x)=12x2+6x-6,f′(0)=-6.
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-6x.
(2) f′(x)=12x2+6tx-6t2. 令f′(x)=0,解得x=-t或x=.
因为t≠0,所以分两种情况讨论:
①若t<0,则<-t.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-t,+∞) | ||
f′(x) | + | - | + |
f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
所以f(x)的单调递增区间是,(-t,+∞);f(x)的单调递减区间是.
②若t>0,则-t<.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,-t) | ||
f′(x) | + | - | + |
f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-t),;f(x)的单调递减区间是.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 数列{bn},{cn}满足 (n+1)bn=an+1﹣ ,(n+2)cn= ﹣ ,其中n∈N*.
(1)若数列{an}是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;
(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn , 求证:数列{an}是等差数列.
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【题目】 将1至这个自然数随机填入n×n方格的个方格中,每个方格恰填一个数().对于同行或同列的每一对数,都计算较大数与较小数的比值,在这个比值中的最小值,称为这一填数法的“特征值”.
(1)若,请写出一种填数法,并计算此填数法的“特征值”;
(2)当时,请写出一种填数法,使得此填数法的“特征值”为;
(3)求证:对任意一个填数法,其“特征值”不大于.
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【题目】设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立,则称函数是“超导函数”.
(1)请举一个“超导函数” 的例子,并加以证明;
(2)若函数与都是“超导函数”,且其中一个在R上单调递增,另一个在R上单调递减,求证:函数是“超导函数”;
(3)若函数是“超导函数”且方程无实根,(e为自然对数的底数),判断方程的实数根的个数并说明理由.
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【题目】已知函数 .
(1)求f(x)的极值;
(2)当0<x<e时,求证:f(e+x)>f(e﹣x);
(3)设函数f(x)图象与直线y=m的两交点分别为A(x1 , f(x1)、B(x2 , f(x2)),中点横坐标为x0 , 证明:f'(x0)<0.
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【题目】传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?
优秀 | 合格 | 合计 | |
大学组 | |||
中学组 | |||
合计 |
注:,其中.
(2)若参赛选手共万人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;
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【题目】一个口袋里装有个白球和个红球,从口袋中任取个球.
(1)共有多少种不同的取法?
(2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法?
(3)其中不含红球,共有多少种不同的取法?
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【题目】已知函数f(x)=lnx+mx(m为常数).
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当 时,设 的两个极值点x1 , x2(x1<x2)恰为h(x)=2lnx﹣ax﹣x2的零点,求 的最小值.
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