Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（2）解不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0．

Answer 1

分析：（1）赋值法：根据所给恒等式，令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）与f（x）的关系，据奇偶函数的定义即可判断；
（2）先用单调性的定义判断函数的单调性，由奇偶性、单调性的性质可把把不等式中的符号“f”去掉，从而变为具体不等式；

解答：解：（1）函数f（x）为R上的奇函数，下面证明：
令y=x=0，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
令y=-x，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（x）+f（-x），即0=f（x）+f（-x），
所以f（-x）=-f（x），
又f（x）定义域为R，关于原点对称，
所以f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
因为x＞0时，f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）为R上的增函数，
f（a-4）+f（2a+1）＜0⇒f（2a+1）＜-f（a-4）=f（4-a），
由f（x）为增函数得，2a+1＜4-a，解得a＜1．
所以不等式的解集为{a|a＜1}．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性的判断及其应用，考查抽象不等式的求解，关于抽象函数的性质问题往往运用定义解决，而解决抽象不等式的基本思路是转化为具体不等式求解．