Question

19．数列{a_n}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，且1-a₂是a₁与1+a₃的等比中项，前n项和为S_n；数列{b_n}是等比数列，b₁=8，其前n项和为T_n，满足T_n=nλb_n+1（λ为常数，且λ≠1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式及λ的值；
（2）比较$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$与$\frac{1}{2}{S_n}$的大小并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据1-a₂是a₁与1+a₃的等比中项，建立关于a₁的方程，解出a₁=$\frac{1}{2}$，从而得出数列{a_n}的通项公式．再由T_n=nλ•b_n+1分别取n=1、2，建立关于{b_n}的公差d与λ的方程组，解之即可得到实数λ的值；
（2）由（1）的结论，利用等比数列的求和公式算出S_n的表达式，从而得到由等差数列的通项与求和公式算出{b_n}的前n项和T_n=4n²+4n，利用裂项求和的方法算出，再将两式加以比较，即可得到与所求的大小关系．

解答 解：（1）∵${（1-{a_2}）^2}={a_1}•（{a_3}+1）$，
而{a_n}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴${（1-\frac{1}{2}{a_1}）^2}={a_1}（\frac{1}{4}{a_1}+1）$，
解得${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_n}={（\frac{1}{2}）^n}$．
又由T_n=nλb_n+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{T_1}=λ{b_1}\\{T_2}=2λ{b_2}\end{array}\right.$，
于是$\left\{\begin{array}{l}8=λ（8+d）\\ 16+d=2λ（8+2d）\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}λ=\frac{1}{2}\\ d=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}λ=1\\ d=0\end{array}\right.$（舍去）．
∴$λ=\frac{1}{2}$．
（2）已知${S_n}=1-{（\frac{1}{2}）^n}$，$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}-{（\frac{1}{2}）^{n+1}}≥\frac{1}{2}-{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{4}$，
${T_n}=n{b_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=8n+4n（n-1）-4{n^2}+4n$，
$\frac{1}{T_n}=\frac{1}{4n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
从而$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）＜\frac{1}{4}≤\frac{1}{2}{S_n}$．

点评 本题给出等差数列与等比数列满足的条件，求它们的通项公式与前n项和公式，并依此比较两个不等式的大小．着重考查了等差等比数列的通项与求和、数列求和的一般方法与不等式比较大小等知识，属于中档题．