Question

12．若不等式（x+m²）²+（x+am-3）²＞$\frac{1}{2}$对任意的x∈R，m∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是a＜2$\sqrt{2}$或a＞5．

Answer 1

分析 数形结合，可以看出点到直线的距离．

解答 解：设P（x，x）Q（-m²，3-am），P在y=x直线上．
不等式左边的几何意义是PQ两点距离的平方．

只要Q到y=x的距离平方大于$\frac{1}{2}$，即可．
d²=$\frac{（{m}^{2}+3-am）^{2}}{2}＞\frac{1}{2}$
∴m²+3-am＞1或m²+3-am＜-1
分离常数可得：$a＜m+\frac{2}{m}或a＞m+\frac{4}{m}$．在m∈[1，3]恒成立
用基本不等式解得：$a＜2\sqrt{2}或a＞5$
故答案为：$a＜2\sqrt{2}或a＞5$．

点评 看到平方和，想到两点间距离的平方，P（x，x），在y=x上．Q到直线距离平方的最小值大于$\frac{1}{2}$．