Question

如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且。

（1）求证：。
（2）若异面直线和所成的角为，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得面，从而可得，又因为可证得平面，从而可证。（2）异面直线和所成的角即为直线和所成的角即。可用空间向量法求所求的二面角，先建系，得出点的坐标，和向量坐标，分别求平面和平面的法向量，用数量积公式求两法向量夹角的余弦值。但需注意两法向量所成的角与所求二面角相等或互补，需从图中观察得出。
试题解析：（1）∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，，∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴.    6分
(2)如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，

∴，
∴，由题设可知，，∴，.设平面的一个法向量为，
由，得，，取，得.
∴.又平面的一个法向量为，∴.
平面与平面所成的锐二面角的余弦值.             13分