Question

对n∈N^*，不等式所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列：(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₄)，…，(x_n,y_n)

(Ⅰ)求x_n，y_n；

(Ⅱ)数列{a_n}满足a₁=x₁，且n≥2时a_n=().证明当n≥2时,；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，试比较(1+)·(1+)·(1+)…(1+)与4的大小关系.

Answer 1

解：(Ⅰ)-nx+2n＞0x＜2,又x＞0且x∈N^*,∴x=1 

故D_n内的整点都落在直线x=1上且y≤n,故D_n内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为：(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,n),∴x_n=1,y_n=n.

(Ⅱ)证：当n≥2时,由a_n=,

得,即=①

∴② 

②式减①式,有,得证. 

(Ⅲ)解：当n=1时,l+=2＜4；当n=2时,(1+)(1+)=2×＜4,

由(Ⅱ)知,当n≥2时,

∴当n≥3时,

=(1+a_n)

=

∵(n≥2),

∴上式＜2[1+(1)]=2(2)=4＜4,

∴(1+)·(1+)·(1+)…(1+)＜4.